KLIPING MATEMATIKA

LIMAS & PRISMA

    

Disusun Oleh :

SHAFIRA EKA NUZULA

Kelas VIII-6

SMP NEGERI 43 BANDUNG

Prisma

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai permasalahan yang melibatkan volume. Misalnya, ketika kita pergi ke swalayan untuk membeli makanan instan, sebaiknya kita membandingkan volume dan harga dari beberapa item untuk melakukan pembelian yang bijaksana. Berbagai macam profesi juga sering menggunakan volume dalam membantu pekerjaan mereka. Seorang insinyur bangunan harus menghitung volume dan berat dari bagian-bagian jembatan untuk menghindari terlalu banyak tekanan dari masing-masing bagian-bagian tersebut. Fisikawan, kimiawan, dan ilmuwan lainnya harus dapat melakukan penghitungan volume dengan sangat cermat pada setiap penelitiannya. Seorang koki juga harus dapat menghitung volume komposisi bahan makanan yang akan mereka masak secara tepat agar menghasilkan masakan yang lezat.

Volume adalah ukuran yang menyatakan jumlah ruang yang terkandung dalam bangun ruang. Kita gunakan satuan kubik untuk mengukur volume dari suatu benda: centimeter kubik (cm³), meter kubik (m³), inchi kubik (in³), dan sebagainya. Volume dari suatu benda merupakan banyaknya kubus satuan yang dapat mengisi secara penuh objek tersebut.

Investigasi: Menemukan Rumus Volume Prisma dan Tabung

Untuk menemukan rumus dalam menghitung volume prisma dan tabung, lakukan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan volume dari masing-masing prisma segiempat berikut dengan satuan cm³! Untuk menghitung volume dari masing-masing prisma tersebut, hitunglah banyaknya kubus satuan yang dimuat oleh prisma tersebut.

Perhatikan bahwa banyaknya kubus satuan yang ada di alas sama dengan banyaknya persegi satuan yang menempati alas tersebut. Demikian juga dengan banyaknya lapisan kubus satuan sama dengan banyaknya satuan tinggi dari prisma tersebut. Sehingga kita dapat menggunakan luas daerah alas dan tinggi dari prisma tersebut untuk menemukan volume prisma tersebut.

Rumus Volume Prisma Segi EmpatJika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma segi empat adalah V = A ∙ t

Langkah 2: Rumus di atas juga dapat digunakan untuk menghitung volume prisma tegak yang memiliki alas bukan segi empat.

Pada prisma tegak sembarang, banyaknya kubus satuan yang menempati sisi alas sama dengan banyaknya persegi satuan yang menempati sisi alas, demikian juga dengan banyaknya lapisan kubus satuan sama dengan banyaknya satuan tinggi dari prisma tegak tersebut. Sehingga dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Rumus Volume Prisma-Tabung TegakJika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma tegak adalah V = A ∙ t

Langkah 3: Bagaimana dengan volume dari prisma atau tabung miring? Kamu dapat memperkirakan volume prisma miring dengan menyusun tumpukan kertas A4. Susunlah 3 rim kertas A4 seperti gambar berikut.

Tumpukan pertama, kertas dikumpulkan per rim. Sedangkan tumpukan kedua, kertas 3 rim digabung jadi satu. Pada tumpukan kedua ini bentuknya mendekati bentuk prisma miring. Padahal yang kita susun adalah kertas yang sama, sehingga volumenya adalah tetap. Apa yang dapat disimpulkan? Volume prisma dan tabung miring sama dengan volume prisma dan tabung tegak.

Rumus Volume Prisma-Tabung MiringJika A adalah luas alas prisma dan t adalah tinggi dari prisma, maka volume dari prisma miring adalah V = A ∙ t

Langkah 5: Pada akhirnya, kita telah menemukan rumus volume dari prisma dan tabung tegak ataupun miring. Kedua rumus yang kita dapatkan adalah sama.

Rumus Volume Prisma dan TabungVolume dari prisma dan tabung adalah luas alas dikalikan dengan tingginya

Kita telah menemukan rumus volume dari prisma dan tabung. Dari rumus yang kita dapatkan, volume prisma dan tabung dapat dicari dengan mengalikan luas alas dengan tingginya, apapun bentuk dari alasnya. Pada prisma dan tabung miring, rusuk yang tidak sejajar dengan bidang alas, juga tidak tegak lurus dengan bidang alas. Sehingga kita tidak dapat menggunakan panjang dari rusuk tersebut sebagai tinggi dari prisma atau tabung miring tersebut. 

Pengertian Prisma

Suatu bangun ruang yang bentuk dan ukuran sisi atas dengan sisi bawah sama serta rusuk-rusuk tegak yang sejajar disebut prisma.

Sebuah bangun prisma ditentukan oleh bentuk alasnya. Maksudnya bahwa penamaan suatu prisma berdasarkan bentuk alasnya, contohnya, suatu bangun prisma yang alasnya  berbentuk segitiga maka dinamakan prisma segitiga, prisma yang alasnya  berbentuk segiempat maka dinamakan prisma segiempat, prisma yang alasnya  berbentuk segi-lima maka dinamakan prisma segi-lima, dan seterunya.

Jenis-Jenis Prisma

Seperti yang dijelaskan di atas bahwa penamaan prisma detentukan oleh bentuk alasnya maka prisma  ada banyak jenis. Berikut adalah beberapa diantaranya:

1. Prisma segitiga

Prisma segitiga adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segitiga. Unsur yang dimiliki prisma segitiga ABC.DEF adalah sebagai berikut:

• Sisi/bidang = memiliki 5 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABC), sisi atas (DEF), dan tiga sisi tegak (ABED, BCFE, ACFD)
• Rusuk = memiliki 9 rusuk yaitu rusuk alas (AB, BC, AC), rusuk atas (DE, EF, DF) Rusuk tegak (AD, BE, dan CF)
• Titik Sudut = memiliki 8 titik sudut yaitu titik sudut A, B, C, D, E, F, G dan H.

2. Prisma Segiempat

Prisma segiempat adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segiempat. Unsur yang dimiliki prisma segiempat ABCD.EFGH adalah sebagai berikut:

• Sisi/bidang = memiliki 6 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABCD), sisi atas (EFGH) dan empat sisi tegak ABFE, BCHF, CDGH dan ADGE
• Rusuk = memiliki 12 rusuk yaitu rusuk alas (AB, BC, CD, DA), rusuk atas (EF, FH, GH, EG), rusuk tegak (EA, FB, HC, GD)
• Titik Sudut = memiliki 8 titik sudut yaitu titik sudut A, B, C, D, E, F, G dan H.

3. Prisma Segi-lima

Prisma segi-lima adalah prisma yang bentuk alas dan atapnya berbentuk segi-lima. Unsur yang dimiliki prisma segi-lima ABCDE.FGHIJ adalah sebagai berikut:

• Sisi/bidang = memiliki 7 sisi atau bidang yaitu sisi alas (ABCDE), sisi atas (FGHIJ), Sisi tegak (ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, AEJF)
• Rusuk = memiliki 15 rusuk yaitu rusuk alas (AB, BC, CD, DE, EA), Rusuk atas (FG, GH, HI, IJ, JF) rusuk tegak (FA, GH, HI, IJ, JE)
• Titik Sudut = memiliki 10 titik sudut yaitu titik sudut A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J

 4. Prisma Segi-n

Untuk prisma segienam, segitujuh,…., Segi-n anda dapat menggunakan

Banyak sisi/bidang prisma segi-n = n + 2

Banyak rusuk prisma segi-n = 3n

Banyak titik sudut prisma segi-n = 2n

Rumus Prisma

1. Volume Prisma

Untuk menghitung besar volume prisma digunakan rumus:

Volume = Luas alas x tinggi

Dimana tinggi adalah tinggi prisma

Misalnya:

Volume Prisma segitiga = Luas alas x t

                                                = (1/2xalasxtinggi) x t

Volume Prisma segiempat = Luas alas x t

                                                = (p x l) x t

 2. Luas permukaan prisma

Untuk menghitung luas permukaan prisma digunakan rumus:

Luas       = Jumlah luas bidang-bidang sisinya

   = Luas alas + luas atas + luas selubungnya

Contoh Soal prisma

1. Sebuah prisma segitiga tegak alasnya berbentuk segitiga siku-siku, dengan panjang rusuk alasnya 4 cm, 3 cm, 5 cm dengan tinggi prisma 10 cm. Hitunglah:

a. Volume prisma

b. Luas permukaan prisma

Penyelesaian

Luas segitiga = ½ x alas x tinggi

                                = ½ x 4 cm x 3 cm

                                = ½ x 12 cm²

                                = 6 cm²

Luas selubung prisma = [(4 x 10) + (5 x 10) + (3 x 10)]

                                                = (40 + 50 + 30) cm²

                                                = 120 cm²

1. Volume Prisma Segitiga = Luas alas x tinggi

= 6 cm² x 10 cm

= 60 cm³

2. Luas permukaan prisma

= Luas alas + luas atas + luas selubungnya

= 6 cm² + 6 cm² + 120 cm²

= 132 cm²

2.Suatu bangun prisma segitiga terbuat dari karton, alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm. Apabila tinggi prisma 5 cm, berapa luas karton yang diperlukan?

Penyelesaian

BC²  = 3² + 4²

                = 9 + 15 = 25

BC = 25 = 5 cm

Luas sisi Alas ABC = Luas sisi Atas DEF = ½ x 3 x 4 = 6 cm²

Luas selubung ABED = 4 cm x 5 cm = 20 cm²

Luas selubung ACFD = 3 cm x 5 cm = 15 cm²

Luas selubung BCFE = 5 cm x 5 cm = 25 cm²

Jadi, luas karton yang diperlukan (luas sisi prisma)

= 6 cm² + 6 cm² + 20 cm² + 15 cm² + 25 cm² = 72 cm²

LIMAS

PENGERTIAN LIMAS

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segi-n dan beberapa segitiga yang alasnya berimpit dengan segi-n tersebut dan bertemu pada satu titik di luar bidang alas.

Jenis-jenis Limas

Jenis Limas ada 4 berdasarkan bentuk alasnya.

1. Limas Segi-tiga
akan saya berikan contoh gambarnya di bawah ini.

Limas Segitiga

Gambar di atas disebut limas segi-tiga T.ABC karena alasnya berbentuk segitiga. Unsur-unsur yang dimiliki limas segi-tiga T.ABC sebagai berikut:

Bidang alas yaitu bidang ABC
Sisi tegak yaitu bidang TAB, TBC,dan TAC
Rusuk tegak yaitu TA, TB, dan TC
Rusuk alas yaitu AB, BC, dan AC
Titik Puncak yaitu titik T
Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus bidang alas ABC.

2. Limas Segi-empat
akan saya berikan contoh gambarnya di bawah ini.

Limas Segiempat

Gambar diatas disebut limas segi-tiga T.ABCD karena alasnya berbentuk segiempat. Unsur-unsur yang dimiliki limas segiempat T.ABCD sebagai berikut:

Bidang alas yaitu bidang ABCD
Sisi tegak yaitu bidang TAB, TBC, TCD, dan TAD
Rusuk tegak yaitu TA, TB, TC, dan TD
Rusuk alas yaitu AB, BC, CD, dan DA
Titik Puncak yaitu titik T
Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus bidang alas ABCD.

3. Limas Segi-Lima
akan saya berikan contoh gambarnya di bawah ini.

Limas Segilima

Gambar di atas disebut limas segi-lima T.ABCDE  karena alasnya berbentuk segitiga. Unsur-unsur yang dimiliki limas segi-lima T.ABCDE sebagai berikut:

Bidang alas yaitu bidang ABCDE
Sisi tegak yaitu bidang TAB, TBC, TCD, TDE, dan TAE
Rusuk tegak yaitu TA, TB, TC, TD, dan TE
Rusuk alas yaitu AB, BC, CD, DE, dan AE
Titik Puncak yaitu titik T
Garis tinggi yaitu garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus bidang alas ABCDE.

4. Limas Segi-n

Untuk limas segi-n memiliki unsur-unsur yaitu

Bidang sisi = n + 1

Titik sudut = n + 1

Rusuk = 2 n



RUMUS RUMUS LIMAS

Menemukan Luas Permukaan Limas Beraturan

by yos3prens

Mungkin sebagian besar dari kita pernah melihat tenda-tenda yang tertata rapi di wilayahcamping ground. Tenda-tenda tersebut biasanya berbentuk prisma ataupun limas. Pernahkah kamu memikirkan: berapa meter persegi kain yang digunakan untuk membuat tenda-tenda tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pada kesempatan ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan luas permukaan dari suatu limas beraturan, atau dalam bahasa Inggris disebut regular pyramid.

Limas beraturan adalah bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segi-n beraturan dan selimutnya terdiri dari segitiga-segitiga yang kongruen. Yang dimaksud segi-n beraturan adalah bangun datar yang memiliki sejumlah n sisi yang sama panjang. Berikut ini contoh-contoh dari limas beraturan.

Sebelum kita menentukan luas permukaan limas beraturan, mari kita temukan bagaimana cara menentukan luas dari bidang datar segi-n beraturan. Mengapa? Karena alas limas beraturan merupakan bidang datar segi-n beraturan.

Menentukan Luas Bidang Datar Segi-n Beraturan

Untuk menentukan luas bidang datar segi-n beraturan, kita pilih segi lima beraturan sebagai peragaannya. Misalkan segi lima tersebut masing-masing sisinya memiliki panjangs. Bagilah segi lima tersebut menjadi 5 segitiga yang kongruen, sehingga masing-masing segitiga tersebut memiliki panjang alas s dan tinggi t.

1. Berapakah luas satu segitiga sama kaki dalam bentuk s dan t?
2. Berapakah luas segi lima dalam bentuk s dan t?
3. Ulangi langkah 1 dan 2 dengan menggunakan segi-n beraturan lainnya, kemudian lengkapi tabel di bawah ini!
   
   Luas segi-n beraturan tersebut akan mengandung variabel t. Variabel t ini memiliki nama khusus, yaitu apotema. Apotema dari segi-n beraturan adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran luar segi-n dengan sisi segi-n tersebut, dan tegak lurus dengan sisi segi-n tersebut.
4. Berapakah keliling dari segi-n beraturan tersebut dalam bentuk n dan s?

Dari beberapa langkah sebelumnya, kita telah menemukan rumus untuk menentukan luas dari segi-n beraturan sebagai berikut.

Luas dari segi-n beraturan adalah L = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau L = 1/2 ∙ K ∙ t, di mana L adalah luas, K adalah keliling, t adalah apotema, s adalah sisi, dan n adalah banyak sisi dari segi-n tersebut.

Setelah kita mengetahui rumus untuk menentukan luas segi-n, mari kita temukan rumus untuk menentukan luas permukaan dari limas beraturan.

Menentukan Luas Permukaan Limas Beraturan

Kita dapat memotong dan membuka limas beraturan menjadi seperti gambar berikut.

1. Berapakah luas tiap-tiap selimut limas di atas?
2. Berapakah total luas selimut limas? Berapakah total luas selimut limas dengan bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan?
   
3. Berapakah luas bidang alas dari limas segi-n beraturan?
4. Gunakan persamaan yang telah kamu peroleh pada langkah 2 dan 3 untuk menentukan luas permukaan limas segi-n beraturan dalam bentuk n, panjang sisi alas s, tinggi selimut h, dan apotema t!
5. Tulislah persamaan lainnya mengenai luas permukaan limas segi-n beraturan dalam bentuk tinggi h, apotema t, dan keliling dari bidang alas limas K!

Dari kegiatan di atas, kita telah memperoleh luas selimut limas adalah L_s = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ hatau L_s = 1/2 ∙ K ∙ h. Selain itu, kita juga telah memperoleh luas bidang alasnya adalah L_a = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau L_a = 1/2 ∙ K ∙ t. Sehingga luas dari permukaan limas beraturan adalah L =L_s + L_a = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ h + 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t = 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t).

Luas permukaan limas beraturan adalah 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t), di mana L adalah luas, K adalah keliling, h adalah tinggi selimut, t adalah apotema, s adalah sisi, dan n adalah banyak sisi dari segi-n beraturan tersebut.

Kita telah memperoleh rumus dalam menentukan luas bidang segi-n beraturan dan luas permukaan limas beraturan. Kita membutuhkan beberapa informasi awal, yaitu n, s, t, h, ataupun K dalam menghitung luas permukaan tersebut. 

1. Volume Limas

Untuk mencari besar volume limas digunakan rumus:
Volume Limas = 1/3 x Luas Alas x t

2. Luas Permukaan

Untuk mencari luas permukaan limas digunakan rumus:
L= Jumlah Luas bidang-bidang sisinya.

Contoh Soal Limas

1. Suatu limas segiempat alasnya berbentuk persegi dan volumenya 1.350 cm3. Apabila tinggi limas tersebut 18 cm, tentukan panjang sisi alasnya?
Penyelesaian

Dik : V = 1.350 cm3 dan tinggi = 18 cm

V = 1/3 x L x t

1.350 = 1/3 L. 18

1350 = 6 L

L = 1350/6 = 225 cm2

Karena alasnya berbentuk persegi maka L =s2

L = 225 cm2

s2 = 225 cm2 = 15 cm


2. Diketahui limas segitiga siku-siku S.PQR seperti gambar di atas. Jika luas seluruh sisi tegaknya adalah 84 cm2 dan luas permukaannya 108 cm2, tentukan:

luas alas limas tersebut ?
panjang PR.?

Penyelesaian

1. Volume limas = 1/3 × luas alas × tinggi

60 = 1/3 × luas alas × 6 cm

3 × 60 = luas alas × 6

luas alas = 180/6

= 30

Jadi, luas alas limas SPQR adalah 30 cm2.

2. Luas segitiga PQR = ½ × PR × RQ

30 = ½ × 5 × RQ

60 = 5 × RQ

RQ = 60/5

= 12

Jadi, panjang RQ adalah 12 cm